ぱずるなかうんたぁ対談 ｖｓ　たなかさん 〜初級編・正解の確率論(前編)〜 [Nekological]　 [ぱずるなかうんたぁ]　 [対談メニュー] あずさ猫： いつも「ぱずるなかうんたぁ」で遊んでいただいてありがとうございます。 今日は、常連のお客様で、元数学屋(※１)のたなかさんに お越しいただき、お話を聞かせていただこうと思います。(※２) たなかさん： こんばんは。 あずさ猫： 本日はどういったテーマでお話いただけるのでしょう？ たなかさん： 初級編の総正解回数と一発正解回数との比率について考えてみました。 あずさ猫： さすが元数学屋さんらしい発想ですね * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * たなかさん： まずは全体の一発正解率を計算してみます。一手目に、 がでる確率は6/10になります。 あずさ猫： １０個の数字のうち０、２、３、７、８、９の６個が になるからですね。 たなかさん： ええ、その通りです。 では、その表示が出たときに正解する確率は何分のいくつになるでしょう？ あずさ猫： ６個の数字の中から当てるから６分の１じゃないですか？ たなかさん： その通りです。同じように、 がでる確率は2/10で、そのとき正解する確率が1/2、 がでる確率は2/10で、そのとき正解する確率が1/2となります。 あずさ猫： １・４場合と５・６の場合ですね。 たなかさん： したがって、 一発正解率は 6/10 * 1/6 + 2/10 * 1/2 + 2/10 * 1/2 = 3/10　となります。 あずさ猫： いま初級編の問題数が19816問(※３)なので、 理論上その３割の5945問くらいが一発正解になっているはずだということですね。 たなかさん： そうなります。 いまの計算は全体としての一発正解率になるわけですが、 今度はある１人の人に着目した場合を考えてみます。 たとえばあるかうんたぁの常連客ａさんは次のような遊び方をしているとします。 　ａさんは「ぱずるなかうんたぁ」にやってくると初級問題をはじめます。 　正解するとまた初級問題に挑戦します。 　さらに正解が続けばどんどん初級問題を続けていきます。 　間違えると他の問題に移ります。 あずさ猫： そういうやり方をしている常連さんは多そうですね。 たなかさん： このとき、 「ａさんの　総正解：一発正解」はどういう比率になるでしょう？」 という問題を考えてみます。この比率も3/10になるのでしょうか？ あずさ猫： 3/10になる気もしますけど、一発正解を続けることがあるのでもう少し高くなりそうな気もしますね。 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * たなかさん： 問題を簡単にするために、 ａさんが最初に挑戦するとき１手目で放置されていることはないと仮定しましょう。 あずさ猫： つまり誰かが挑戦し、不正解だった後だとするわけですね。 たなかさん： この場合、これで正解しても一発正解ではありません。 このように前の人のヒントがある状態でａさんが正解できる確率をｘとしておきましょう。 あずさ猫： 言い換えるとｘはａさんの実力になるわけですね。 たなかさん： そういうことになります。 ｘの値自体にも興味がありますが、ひとまずここはｘのままで計算していきます。 ａさんが確率ｘで正解した場合に、さらに一発正解する確率は3/10 * xになります。 あずさ猫： １手目で正解する確率が3/10だからですね。 たなかさん： そうです。計算を続けると、 さらに連続して一発正解する確率が3/10 * 3/10 * xで、 さらにさらに連続して一発正解する確率が3/10 * 3/10 * 3/10 * xで、 ・・・となりますから １回かうんたぁを訪れるたびに正解する回数の期待値は 　　　x + 3/10 x + (3/10)2 x + (3/10)3 x + ... 　　= x ( 1 + 3/10 + (3/10)2 + (3/10)3 + ... ) となります。 括弧の中は高校で習う等比級数で計算できますがこのままでも支障がないので 計算せずに先に進みましょう。 では１回かうんたぁを訪れるたびに一発正解する回数の期待値はというと、 先ほどの計算の２個目以降が一発正解ですから 　　　3/10 x + (3/10)2 x + (3/10)3 x + ... 　　= 3/10 x ( 1 + 3/10 + (3/10)2 + (3/10)3 + ... ) となります。 求めたかったのはこれらの比ですから、 x ( 1 + 3/10 + (3/10)2 + (3/10)3 + ... ) : 3/10 x ( 1 + 3/10 + (3/10)2 + (3/10)3 + ... ) = 10 : 3 となります。 あずさ猫： きれいに約分できましたね。 結局全体の一発正解率と等しくなりましたね。 たなかさん： はい。 先ほど一発正解を連続できるからもう少し高くなるのではないかという予想がありましたが、 挑戦し始めるときは必ず１回一発でない正解をしなければならないというところで相殺されて 3/10になったと解釈することができますね。 あずさ猫： なるほど。 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * たなかさん： この結果で注目すべき点は、いつの間にかｘが約分されて消えてしまったということです。 逆に言うと一発正解率はｘに依存しません。 あずさ猫： x・・つまり実力に依存しないってことですよね。 たなかさん： あまり深く考えないと、１手目の正解率は単なる運だから誰でも一緒で、 ２手目以降は実力のある人の方が正解率が高くなるので 実力の高い人の方が一発正解率が低くなるんじゃないかと思いがちですが、 そうではないということがわかります。 あずさ猫： つまりまとめるとこうなるんですね。 一発正解率は実力に関係しない。 たなかさん： もちろん先ほどのような遊び方をしていることが前提です。 誰かが正解した直後をねらう人は一発正解率が高くなるでしょうし、 １問やっただけでやめてしまう人は一発正解率は０％になってしまいます。 あずさ猫： ええもちろんそうですね。 今回、正解者特典として「正解です！」のページから、一度メニューに戻ることなく もう一度挑戦できるように　ボタンをつけました。 これでさらに、理論値に近づくのでしょうか･･･。 たなかさん： 中級編・上級編・秋の特別編の一発正解率もそれほど難しくないので時間があったら求めてみてください。 次に、ここまで敢えて避けていたｘの値について考えてみましょうか。 ｘについて追求すると、どう答えるのが有利かわかるはずです。 あずさ猫： 興味深いところですがお時間のようですので、 今回はここまでにさせていただきたいと思います。(※４) 本日は、貴重なお話をどうもありがとうございました。 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * (※１) 自称 (※２) この対談はフィクションです。 たなかさんからいただいた確率についてのメールをもとに対談風にまとめました。 (※３) 2003年11月9日現在 (※４) たなかさんのお話は　ひきつづき「初級編・正解の確率論(後編)」でお届けする予定です。