ぱずるなかうんたぁ対談
 ｖｓ　たなかさん
〜初級編・正解の確率論(後編)〜
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あずさ猫： いつも「ぱずるなかうんたぁ」で遊んでいただいてありがとうございます。
今日も前回に引き続きまして、常連のお客様で、元数学屋(※１)のたなかさんに
お越しいただき、お話を聞かせていただこうと思います。(※２)
あずさ猫： 前回はどうもありがとうございました。たいへん好評をいただいているようです。
たなかさん： ありがとうございます。
あずさ猫： 本日はどういったテーマでお話いただけるのでしょう？
たなかさん： 前回は一発正解率について考えましたが、今回は２手目以降の正解率について考えてみたいと思います。
あずさ猫： 一発以外の正解率ということですね。

* 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 *

たなかさん： まず、一発正解のときと違うのは、一手前の挑戦者の情報を使うことができます。
一手前の挑戦者の情報が信用できないと計算が進まないので、 一手前の挑戦者たちは十分に賢い人だとしておきます。
言い換えると、赤や白の帽子をかぶっている人と同種の人だということです。 (※３)
あずさ猫： あるいは正直村や嘘つき村の住人と同種の人ということですね？ (※３)
たなかさん： もちろん嘘をつかれると困りますが（笑）。今回のテーマは、
「今の表示が、で、
一手前の挑戦者が８と答えている場合、
どう答えるのが得策か」

 ということです。このような場合、普通はどう答えますか？
あずさ猫： ０，２，３，７，８，９のどれかですよね。
一手前の挑戦者が８と同じパターンで見えていたということは２や７ではないですね。
しかも８と答えてはずれているということは９ではないですね。
そういえば、前々回さゆりさんが０や３は避けたほうが良いとおっしゃってました。
たなかさん： そうでしたね。
そうすると、０，３，８の３個の中から適当に選ぶか、
あるいは０と３を抜かして８を選ぶかどちらかということになりますね。
あずさ猫： そうですね。
たなかさん： とりあえず、普通の人は０，３，８の３通りの中からそれぞれ確率1/3で選ぶものとしましょう。
同じように、他の場合の選び方も以下のようになっているとしましょう。
後の議論に必要になるので、１手目の場合も表に含めておきます。

　　　【等確率での選び方】
表示 一手前の挑戦者の答え 正解の候補 選び方
００，３，８，９それぞれ1/4
１５必ず５を選ぶ
２０，８，９それぞれ1/3
３０，３，８，９それぞれ1/4
４２必ず２を選ぶ
５７必ず７を選ぶ
６６必ず６を選ぶ
７０，３，９それぞれ1/3
８０，３，８それぞれ1/3
９３，８，９それぞれ1/3
(１手目)０，２，３，７，８，９それぞれ1/6
０４必ず４を選ぶ
１１，４ それぞれ1/2(★)
２１，４それぞれ1/2
３１必ず１を選ぶ
４１，４ それぞれ1/2(★)
５１，４ それぞれ1/2(★)
６１，４ それぞれ1/2(★)
７１，４それぞれ1/2
８１，４それぞれ1/2
９１，４それぞれ1/2
(１手目)１，４それぞれ1/2
０５，６ それぞれ1/2(★)
１５必ず５を選ぶ
２５，６ それぞれ1/2(★)
３５，６ それぞれ1/2(★)
４６ 必ず６を選ぶ(★)
５５ 必ず５を選ぶ(★)
６６必ず６を選ぶ
７５，６ それぞれ1/2(★)
８５，６ それぞれ1/2(★)
９５，６ それぞれ1/2(★)
(１手目)５，６それぞれ1/2

基本的に可能性のある数字を等確率で出しているという表です。
グレーで★印をつけたものは、一手前の挑戦者が正しく答えているという前提ではありえないパターンです。 一応、表には載せておきましたが、無視してもらって構いません。

あずさ猫： 多少の偏りはあると思いますが、大体この表のような選び方をしてる人が多いでしょうね。 前々回のさゆりさんとの対談の影響で０や３を選ぶ人は減っているかもしれませんが・・・
たなかさん： ２手目以降にどのような分布になるかを考えたいのですが、まず２手目に が出ているときの状況を分析してみたいと思います。
これは０，２，３，７，８，９の場合が考えられますが、それぞれ１手目は９，１，２，６，７，８だったはずです。
あずさ猫： そうですね。
たなかさん： まず【（１手目時点での正解）９→（２手目時点での正解）０】となる場合を考えてみます。
１手目に９が出る確率は1/10のはずです。もちろん、０〜９が等確率で出ることが前提ですが、 まさか、そこが偏っていたりしませんよね？
あずさ猫： それは企業秘密です。
たなかさん： ま、まぁ、とりあえず等確率として話を進めましょう。
１手目の挑戦者は、先ほどの表より０，２，３，７，８，９のどれかを1/6の確率で選びます。 つまり、「１手目の正解が９で、１手目の挑戦者が０，２，３，７，８，９と解答する確率」は、 それぞれ1/60(=1/10*1/6)ということになります。
９を選んだ場合は一発正解となりますが、それ以外の場合は不正解で２手目に移ります。

ではこの現象を　２手目の挑戦者からみたらどうなるでしょうか。
２手目の挑戦者がわかることは、その時のかうんたぁのデジタル表示と、一手前の挑戦者の答えだけですが、 そのときの正解の確率を一手前の挑戦者の答えごとにまとめたのが下の表です。

【２手目の挑戦者の視点と正解の確率】
表示正解
(一手前)		 一手前(=１手目)の挑戦者の答え
０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
０ (９) 1/60 0 1/60 1/60 0 0 0 1/60 1/60 0
２ (１) 0 0 0 0 1/20 0 0 0 0 0
３ (２) 1/60 0 0 1/60 0 0 0 1/60 1/60 1/60
７ (６) 0 0 0 0 0 1/20 0 0 0 0
８ (７) 1/60 0 1/60 1/60 0 0 0 0 1/60 1/60
９ (８) 1/60 0 1/60 1/60 0 0 0 1/60 0 1/60
表示正解
(一手前)		 一手前(=１手目)の挑戦者の答え
０ １ ２ ３ ４５ ６ ７ ８ ９
１ (０) 0 0 1/60 1/60 0 0 0 1/60 1/60 1/60
４ (３) 1/60 0 1/60 0 0 0 0 1/60 1/60 1/60
表示正解
(一手前)		 一手前(=１手目)の挑戦者の答え
０ １ ２３ ４５ ６ ７ ８９
５ (４) 0 1/20 0 0 0 0 0 0 0 0
６ (５) 0 0 0 0 0 0 1/20 0 0 0

もっともこの表は、２手目の挑戦者の視点に立ってまとめてはいますが、 １手目で一発正解となり２手目にまわってこない場合も考慮してあります。
よって、確率の合計は１にはなりません。
（ちなみに合計は7/10となり、これに前編で求めた一発正解率を足し合わせると１になります。）

あずさ猫： この表を縦に見ると、たとえば１手目の挑戦者が７と答えていた場合は、 正解が０か３か９である確率がそれぞれ1/60ということですよね？
つまり、０と答えても３と答えても９と答えても当たる確率は変わらないということですね？
たなかさん： その通りです。等確率であまり面白くありませんね。
しかしこれは、あくまでも２手目の挑戦時での分布です。
３手目の挑戦者の視点に立った表も作ってみることにしましょう。

【３手目の挑戦者の視点と正解の確率】
表示正解
(一手前)		 一手前(=２手目)の挑戦者の答え
０ １ ２ ３ ４ ５ ６７ ８ ９
０ (９) 7/360 0 0 7/360 0 0 0 0 7/360 0
２ (１) 0 0 0 0 1/30 0 0 0 0 0
３ (２) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
７ (６) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
８ (７) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
９ (８) 7/360 0 0 7/360 0 0 0 0 0 7/360
表示正解
(一手前)		 一手前(=２手目)の挑戦者の答え
０ １ ２ ３ ４５ ６７ ８ ９
１ (０) 0 0 0 7/360 0 0 0 0 7/360 7/360
４ (３) 7/360 0 0 0 0 0 0 0 7/360 7/360
表示正解
(一手前)		 一手前(=２手目)の挑戦者の答え
０ １ ２３ ４５ ６７ ８９
５ (４) 0 1/30 0 0 0 0 0 0 0 0
６ (５) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

あずさ猫： 一手前(=２手目)の挑戦者が２，５，６，７と答えたときの欄が全部０になっているみたいですけど、どういうことですか？
たなかさん： それは２手目の表の正解が２，５，６，７となっているところを見るとわかります。
つまり、これらを答えるのはその一手前の人、つまり１手目の人が１，４，５，６と答えたときですが、 この場合は前々回のさゆりさんとの対談でのお話しのように、必ず正解してしまうので３手目に回ってこないわけです。
あずさ猫： なるほど、それで３手目の欄が全部０になっているんですね。 ・・・よく見ると正解が３，６，７，８のところも全部０ですね。
たなかさん： そうですね。これも先ほどと同じように、２手目に２，５，６，７だと全部正解されてしまうので、 ３手目が３，６，７，８になるということはないということです。

* 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 *

たなかさん： 計算は面倒ですが、さらに計算を進めていくことができます。
この計算、何手目までやる必要があると思います？
あずさ猫： 前々回のさゆりさんの対談の内容から考えると、２手目以降で正解が２，５，６，７のときは必ず正解できますから、 ７→８→９→０→１→２で最大６手で必ず正解できるんじゃないですか？
たなかさん： その通りです。したがってこの計算は６手目までやれば良いことがわかります。
実際に計算した結果は[こちら]にあります。
ですが、実際にこの表を使うのは難しいですよね？
あずさ猫： それはつまり、
「自分がいま何手目の挑戦者であるかはわからない」
 ということですよね？
たなかさん： そうです。
常に監視している人なら別ですが、１手目以外は何手目でも見た目上区別がつきません。
ですから、２手目以降の結果は２手目以降を全て通算してまとめることにします。
あずさ猫： そうすると、一手前の挑戦者が何か答えていたときの分布になるということですね？
たなかさん： そういうことになります。
さらに今までは手数目毎の出題に対してその状態になる確率を求めていましたが、いま興味があるのは、 たとえば、一手前の挑戦者が８と答えていて、今の表示がのときに どう答えるのが得策かということでした。
前出の　２手目の挑戦者の視点から６手目の挑戦者の視点までの表を「現在表示されている状態」と 「一手前の挑戦者の答え」ごとにまとめ、それぞれを100%として条件付確率に換算してみることにします。
そのように計算してみたものがこちらにございます。

【１手目以外の挑戦者の視点と正解の確率(百分率)】
表示正解
(一手前)		 一手前の挑戦者の答え
０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
０ (９) 39.8% 0.0% 33.3% 43.0% 0.0% 0.0% 0.0% 33.3% 61.1% 0.0%
２ (１) 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%
３ (２) 14.5% 0.0% 0.0% 13.7% 0.0% 0.0% 0.0% 33.3% 19.5% 24.0%
７ (６) 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%
８ (７) 14.5% 0.0% 33.3% 13.7% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 19.5% 14.0%
９ (８) 31.3% 0.0% 33.3% 29.7% 0.0% 0.0% 0.0% 33.3% 0.0% 52.0%
表示正解
(一手前)		 一手前の挑戦者の答え
０ １ ２ ３ ４５ ６ ７ ８ ９
１ (０) 0.0% 0.0% 50.0% 100.0% 0.0% 0.0% 0.0% 50.0% 64.0% 59.2%
４ (３) 100.0% 0.0% 50.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 50.0% 36.0% 40.8%
表示正解
(一手前)		 一手前の挑戦者の答え
０ １ ２３ ４５ ６ ７ ８９
５ (４) 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%
６ (５) 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 0.0%

あずさ猫： 料理番組のようにあっさりと出てきましたね・・・（笑）
この表はどう見るんですか？
たなかさん： たとえば、
表示がで、 一手前の挑戦者が８と答えていたとき、
　正解が０である確率が61.1%
　正解が３である確率が19.5%
　正解が８である確率が19.5%
だということです。
あずさ猫： ０と答えた方が圧倒的に有利じゃないですかっ。
たなかさん： その通りです。
等確率で答えた場合は33.3%の正解率にしかなりませんが、 このパターンでは０と解答すれば61.1%の正解率になるわけです。
その差は歴然としていますね。
この表からは他にもいろいろなことが読み取れるはずです。
あずさ猫： １と４で悩んだときは、１と答えた時の方が正解率が高い場合もあるんですね・・・
主なところをまとめてみるとこんな感じでしょうか。

・ で一手前が０，３，８，９なら０や９と答えるのが有利
　　　　（ただし、一手前が８なら９ではない。一手前が９なら０ではない。）

・ で一手前が８か９なら１と答えるのが有利
たなかさん： どうしてそうなったのかはよ〜く考えてみるとわかると思いますので宿題にしましょう。
ただしこの結果は解答者が全員 最初の表のように答えるという前提 の表です。
あずさ猫： この対談を読んだ方々が、この表を参考に０や１や９に偏って答えるようになると 結果がまた変わってくるということですね？
たなかさん： そういうことです。そうするとどうなるのかは敢えてお話しないでおくことにしましょう。
あずさ猫： ところで、たなかさん。
前々回にさゆりさんから適当に選ぶときは０や３を選ぶなと教わったんですが・・
たなかさん： 今回の結果は純粋に正解率を上げるためにはむしろ０や９を選んだほうが有利だということを物語っています。
一方で次の人の手がかりを減らすためには、０や３をはずしたほうが良いという考え方もできます。
何を重視するかで戦略が変わってくるということです。
あずさ猫： たいへん貴重なお話をありがとうございました。

* 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 * 　　　　　　　　 *

(※１) 2004年2月現在
(※２) この対談はフィクションです。
たなかさんからいただいた確率についてのメールをもとに対談風にまとめました。
(※３) 有名な古典パズルの登場人物。